数字电子技术基础（2）——逻辑代数基础

逻辑运算

基本的逻辑运算包括与、或、非三项，常用的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。

1. 异或

   $$F = A \oplus B = A\bar{B}+\bar{A}B$$

   性质：

   $$A \oplus 1 = \bar{A}$$ $$A \oplus 0 = A$$ $$A \oplus \bar{A} = 1$$ $$A \oplus A = 0$$

2. 同或

   $$F = A \odot B = \bar{A}\bar{B}+AB$$

   性质：

   $$A \odot 1 = A$$ $$A \odot 0 = \bar{A}$$ $$A \odot \bar{A} = 0$$ $$A \odot A = 1$$

3. 异或和同或的关系

   $$A \oplus B = \overline{A \odot B} = \bar{A} \oplus \bar{B}$$ $$A \odot B = \overline{A \oplus B} = \bar{A} \odot \bar{B}$$

逻辑函数

逻辑函数的表示方法有：1.逻辑函数式；2.逻辑真值表；3.逻辑（电路）图；4.（方波）波形图；5.卡诺图等；

常用公式

$$A + AB = A$$ $$A + \bar{A}B = A + B$$ $$AB + A\bar{B} = A$$ $$A(A+B) = A$$ $$AB + \bar{A}C + BC = AB + \bar{A}C$$ $$AB + \bar{A}C + BCD = AB + \bar{A}C$$ $$A\bullet\overline{AB} = A\bar{B}$$ $$\bar{A}\bullet\overline{AB} = \bar{A}$$

德摩根律：

$$\overline{AB} = \bar{A} + \bar{B}$$ $$\overline{A+B} = \bar{A}\bar{B}$$

基本定理

1. 反演定理

   对于任意一个逻辑式 Y，将所有的与换成或，或换成与，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，所得结果即为 Y'。（Y'也作$\bar{Y}$）
   简单的说，就是所有元素都取反。
   使用反演定理时，需要注意保持原式中的优先顺序不变。

2. 对偶定理

   若两式相等，则它们的对偶式也相等。
   对偶式：对于任意一个逻辑式 Y，将所有的与换成或，或换成与，0换成1，1换成0，所得结果即为 Y 的对偶式 Y*。（有的书也作$Y^D$）
   简单的说，就是除了变量外元素都取反。

3. Y、Y'、Y*的关系

   若$Y = \sum m(0,1,4,6,7)$，则$Y' = \sum m(2,3,5)$，而$Y^* = \sum m(2,4,5)$。
   可以发现，Y 与 Y' 是互补的，两者合集即为全集。而 Y' 和 Y* 对应元素之和为固定值，即元素总数-1。

标准表达式

一般表达式分为与或式和或与式，例如 AB+CD 是与或式，(A+B)(C+D) 是或与式。
标准表达式也分两种，标准与或式和标准或与式。

1. 最小项

   在与或式中，函数展开式的每一项都是由全部变量组成的与项，每个变量以原变量或反变量形式出现，仅出现一次。这种与项，称为最小项。
   标准与或式，就是全部由最小项之和组成，也称最小项表达式。

   $$F(A,B,C) = AB + AC + BC$$ $$=\bar{A}BC + A\bar{B}C + AB\bar{C} + ABC$$ $$=m_3 + m_5 + m_6 + m_7$$ $$=\sum m(3,5,6,7)$$

   性质：

   • 对于任意最小项，只有一组取值使其为 1；
   • 任意不同最小项之积为 0；
   • 所有最小项之和为 1。

2. 最大项

   在或与式中，函数展开式的每一项都是由全部变量组成的或项，每个变量以原变量或反变量形式出现，仅出现一次。这种或项，称为最大项。
   标准或与式，就是全部由最大项之积组成，也称最大项表达式。

   $$F(A,B,C) = AB + AC + BC$$ $$=(\bar{A}+B+C)(A+\bar{B}+C)(A+B+\bar{C})(A+B+C)$$ $$=M_3 M_5 M_6 M_7$$ $$=\prod M(3,5,6,7)$$

   性质：

   • 对于任意最大项，只有一组取值使其为 0；
   • 任意不同最大项之和为 1；
   • 所有最大项之积为 0。

3. 最小项与最大项互为反函数，$\overline{m_i} = M_i，\overline{M_i} = m_i$。

卡诺图

逻辑函数化简的标准：

1. 项数少（与、或符号少），使用门电路器件就少；
2. 各项变量少，其输入端数就少；
3. 输入到输出的级数少，电路延迟就低；
4. 可靠性要强。

卡诺图画圈的过程中，主要项是指圈到最大的圈，必要项（属于主要项）是指不可缺少的圈，多余项（属于主要项）是画重复了的圈。

利用卡诺图化简有两种方法，一种是合并最小项，即圈 1 的方法，也是最常用的方法；另一种是合并最大项，即圈 0 的方法。
在做题的时候，可以根据实际情况，采用合适的方法。有的时候圈 0 会更简单！
包含任意项（约束项）的时候，要争取画的圈最大。

关于5变量卡诺图：

AB\CDE	000	001	011	010	110	111	101	100
00	0	1	3	2	6	7	5	4
01	8	9	11	10	14	15	13	12
11	24	25	27	26	30	31	29	28
10	16	17	19	18	22	23	21	20

逻辑图

逻辑图一般画法：

$$Y_1(A,B,C,D)=B+AC+\bar{A}\bar{C}D$$ $$Y_2(A,B,C,D)=\bar{A}D+B\bar{D}$$ $$Y_3(A,B,C,D)=\bar{A}CD+A\bar{B}C$$